Hexomino Pairs Tiling a Rectangle with One Corner Cell Removed

Introduction

A hexomino is a plane figure made of six squares joined edge to edge. There are 35 such figures, not distinguishing reflections and rotations.

The problem of arranging copies of a polyomino to form a rectangle has been studied for a long time. Here I study the problem of arranging copies of two hexominoes to form a rectangle with one corner cell removed.

If you find a smaller solution or solve an unsolved case, please write.

Enumeration

Table of Results

This table shows the smallest total number of copies of two hexominoes known to be able to tile a rectangle with three of its corner cells removed, using at least one of each pentomino.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
1	*	8	8	8	8	15	8	15	28	15	41	15	8	8	8	8	41	15	41	28	15	28	?	8	15	28	129	36	8	28	8	559	28	?	?
2	8	*	8	8	8	8	8	20	8	15	20	14	8	8	8	8	9	15	28	28	8	22	22	8	20	8	22	15	8	15	8	28	15	15	22
3	8	8	*	29	20	?	8	41	15	67	42	8	8	15	28	8	19	41	48	22	8	28	54	14	28	28	64	54	22	?	8	82	86	?	?
4	8	8	29	*	15	64	8	?	?	80	?	?	9	28	?	9	41	?	?	?	20	31	?	?	41	?	?	?	8	?	4	?	?	?	?
5	8	8	20	15	*	54	4	?	29	?	?	9	15	22	?	8	67	15	28	?	4	67	22	15	28	41	42	8	4	14	8	60	?	?	?
6	15	8	?	64	54	*	9	?	?	?	?	48	41	48	?	?	41	54	54	?	14	?	?	20	?	?	?	?	48	?	28	?	?	?	?
7	8	8	8	8	4	9	*	8	8	4	14	8	8	8	15	9	20	4	15	28	4	15	4	4	15	8	15	14	9	8	4	8	28	15	15
8	15	20	41	?	?	?	8	*	?	?	?	?	?	54	?	?	?	?	?	?	54	?	?	?	?	?	?	?	28	?	?	?	?	?	?
9	28	8	15	?	29	?	8	?	*	53	?	?	20	8	?	8	?	?	?	?	8	?	?	?	?	?	?	?	28	?	41	?	?	?	?
10	15	15	67	80	?	?	4	?	53	*	?	?	15	28	?	54	?	31	?	?	15	?	?	8	?	?	?	?	4	?	8	82	?	?	?
11	41	20	42	?	?	?	14	?	?	?	*	?	48	48	?	28	?	?	?	?	19	54	?	?	?	?	?	?	8	?	?	?	?	?	?
12	15	14	8	?	9	48	8	?	?	?	?	*	31	48	?	?	?	?	?	?	22	?	?	?	?	?	?	?	41	28	8	?	?	?	?
13	8	8	8	9	15	41	8	?	20	15	48	31	*	15	20	82	15	31	42	28	8	8	41	31	48	20	48	?	41	54	20	8	15	41	4
14	8	8	15	28	22	48	8	54	8	28	48	48	15	*	28	8	28	41	28	8	4	48	?	14	67	20	48	54	14	28	20	19	28	41	?
15	8	8	28	?	?	?	15	?	?	?	?	?	20	28	*	20	?	?	?	?	20	48	?	?	8	?	?	?	9	?	8	?	?	?	?
16	8	8	8	9	8	?	9	?	8	54	28	?	82	8	20	*	80	?	28	8	8	?	?	20	?	?	?	?	8	?	8	4	54	?	?
17	41	9	19	41	67	41	20	?	?	?	?	?	15	28	?	80	*	?	?	?	20	?	?	?	?	79	?	?	?	?	?	?	?	?	?
18	15	15	41	?	15	54	4	?	?	31	?	?	31	41	?	?	?	*	?	?	28	?	?	?	?	?	?	?	?	?	28	?	?	?	?
19	41	28	48	?	28	54	15	?	?	?	?	?	42	28	?	28	?	?	*	?	41	?	?	?	?	?	?	?	22	?	?	?	?	?	?
20	28	28	22	?	?	?	28	?	?	?	?	?	28	8	?	8	?	?	?	*	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
21	15	8	8	20	4	14	4	54	8	15	19	22	8	4	20	8	20	28	41	48	*	41	42	4	48	28	41	48	28	31	4	28	4	48	41
22	28	22	28	31	67	?	15	?	?	?	54	?	8	48	48	?	?	?	?	?	41	*	?	?	?	?	?	?	8	?	?	48	?	?	?
23	?	22	54	?	22	?	4	?	?	?	?	?	41	?	?	?	?	?	?	?	42	?	*	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
24	8	8	14	?	15	20	4	?	?	8	?	?	31	14	?	20	?	?	?	?	4	?	?	*	41	?	?	?	?	?	4	?	?	?	?
25	15	20	28	41	28	?	15	?	?	?	?	?	48	67	8	?	?	?	?	?	48	?	?	41	*	?	?	?	?	?	8	?	?	?	?
26	28	8	28	?	41	?	8	?	?	?	?	?	20	20	?	?	79	?	?	?	28	?	?	?	?	*	?	?	28	?	?	?	?	?	?
27	129	22	64	?	42	?	15	?	?	?	?	?	48	48	?	?	?	?	?	?	41	?	?	?	?	?	*	?	?	?	28	?	?	?	?
28	36	15	54	?	8	?	14	?	?	?	?	?	?	54	?	?	?	?	?	?	48	?	?	?	?	?	?	*	?	?	8	?	?	?	?
29	8	8	22	8	4	48	9	28	28	4	8	41	41	14	9	8	?	?	22	?	28	8	?	?	?	28	?	?	*	?	?	?	?	?	?
30	28	15	?	?	14	?	8	?	?	?	?	28	54	28	?	?	?	?	?	?	31	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?	?	?	?	?
31	8	8	8	4	8	28	4	?	41	8	?	8	20	20	8	8	?	28	?	?	4	?	?	4	8	?	28	8	?	?	*	?	?	?	?
32	559	28	82	?	60	?	8	?	?	82	?	?	8	19	?	4	?	?	?	?	28	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?	?	?
33	28	15	86	?	?	?	28	?	?	?	?	?	15	28	?	54	?	?	?	?	4	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?	?
34	?	15	?	?	?	?	15	?	?	?	?	?	41	41	?	?	?	?	?	?	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?
35	?	22	?	?	?	?	15	?	?	?	?	?	4	?	?	?	?	?	?	?	41	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35

Solutions

So far as I know, these solutions have minimal area. They are not necessarily uniquely minimal.

4 Tiles

8 Tiles

9 Tiles

14 Tiles

15 Tiles

19 Tiles

20 Tiles

22 Tiles

28 Tiles

29 Tiles

31 Tiles

36 Tiles

41 Tiles

42 Tiles

48 Tiles

53 Tiles

54 Tiles

60 Tiles

64 Tiles

67 Tiles

79 Tiles

80 Tiles

82 Tiles

86 Tiles

129 Tiles

559 Tiles

Last revised 2023-06-23.

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Col. George Sicherman [ HOME | MAIL ]

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1	*	8	8	8	8	15	8	15	28	15	41	15	8	8	8	8	41	15	41	28	15	28	?	8	15	28	129	36	8	28	8	559	28	?	?
2	8	*	8	8	8	8	8	20	8	15	20	14	8	8	8	8	9	15	28	28	8	22	22	8	20	8	22	15	8	15	8	28	15	15	22
3	8	8	*	29	20	?	8	41	15	67	42	8	8	15	28	8	19	41	48	22	8	28	54	14	28	28	64	54	22	?	8	82	86	?	?
4	8	8	29	*	15	64	8	?	?	80	?	?	9	28	?	9	41	?	?	?	20	31	?	?	41	?	?	?	8	?	4	?	?	?	?
5	8	8	20	15	*	54	4	?	29	?	?	9	15	22	?	8	67	15	28	?	4	67	22	15	28	41	42	8	4	14	8	60	?	?	?
6	15	8	?	64	54	*	9	?	?	?	?	48	41	48	?	?	41	54	54	?	14	?	?	20	?	?	?	?	48	?	28	?	?	?	?
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11	41	20	42	?	?	?	14	?	?	?	*	?	48	48	?	28	?	?	?	?	19	54	?	?	?	?	?	?	8	?	?	?	?	?	?
12	15	14	8	?	9	48	8	?	?	?	?	*	31	48	?	?	?	?	?	?	22	?	?	?	?	?	?	?	41	28	8	?	?	?	?
13	8	8	8	9	15	41	8	?	20	15	48	31	*	15	20	82	15	31	42	28	8	8	41	31	48	20	48	?	41	54	20	8	15	41	4
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15	8	8	28	?	?	?	15	?	?	?	?	?	20	28	*	20	?	?	?	?	20	48	?	?	8	?	?	?	9	?	8	?	?	?	?
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17	41	9	19	41	67	41	20	?	?	?	?	?	15	28	?	80	*	?	?	?	20	?	?	?	?	79	?	?	?	?	?	?	?	?	?
18	15	15	41	?	15	54	4	?	?	31	?	?	31	41	?	?	?	*	?	?	28	?	?	?	?	?	?	?	?	?	28	?	?	?	?
19	41	28	48	?	28	54	15	?	?	?	?	?	42	28	?	28	?	?	*	?	41	?	?	?	?	?	?	?	22	?	?	?	?	?	?
20	28	28	22	?	?	?	28	?	?	?	?	?	28	8	?	8	?	?	?	*	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
21	15	8	8	20	4	14	4	54	8	15	19	22	8	4	20	8	20	28	41	48	*	41	42	4	48	28	41	48	28	31	4	28	4	48	41
22	28	22	28	31	67	?	15	?	?	?	54	?	8	48	48	?	?	?	?	?	41	*	?	?	?	?	?	?	8	?	?	48	?	?	?
23	?	22	54	?	22	?	4	?	?	?	?	?	41	?	?	?	?	?	?	?	42	?	*	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
24	8	8	14	?	15	20	4	?	?	8	?	?	31	14	?	20	?	?	?	?	4	?	?	*	41	?	?	?	?	?	4	?	?	?	?
25	15	20	28	41	28	?	15	?	?	?	?	?	48	67	8	?	?	?	?	?	48	?	?	41	*	?	?	?	?	?	8	?	?	?	?
26	28	8	28	?	41	?	8	?	?	?	?	?	20	20	?	?	79	?	?	?	28	?	?	?	?	*	?	?	28	?	?	?	?	?	?
27	129	22	64	?	42	?	15	?	?	?	?	?	48	48	?	?	?	?	?	?	41	?	?	?	?	?	*	?	?	?	28	?	?	?	?
28	36	15	54	?	8	?	14	?	?	?	?	?	?	54	?	?	?	?	?	?	48	?	?	?	?	?	?	*	?	?	8	?	?	?	?
29	8	8	22	8	4	48	9	28	28	4	8	41	41	14	9	8	?	?	22	?	28	8	?	?	?	28	?	?	*	?	?	?	?	?	?
30	28	15	?	?	14	?	8	?	?	?	?	28	54	28	?	?	?	?	?	?	31	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?	?	?	?	?
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32	559	28	82	?	60	?	8	?	?	82	?	?	8	19	?	4	?	?	?	?	28	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?	?	?
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4	8	8	29	*	15	64	8	?	?	80	?	?	9	28	?	9	41	?	?	?	20	31	?	?	41	?	?	?	8	?	4	?	?	?	?
5	8	8	20	15	*	54	4	?	29	?	?	9	15	22	?	8	67	15	28	?	4	67	22	15	28	41	42	8	4	14	8	60	?	?	?
6	15	8	?	64	54	*	9	?	?	?	?	48	41	48	?	?	41	54	54	?	14	?	?	20	?	?	?	?	48	?	28	?	?	?	?
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15	8	8	28	?	?	?	15	?	?	?	?	?	20	28	*	20	?	?	?	?	20	48	?	?	8	?	?	?	9	?	8	?	?	?	?
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20	28	28	22	?	?	?	28	?	?	?	?	?	28	8	?	8	?	?	?	*	48	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
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