Hexomino Pairs Tiling a Rectangle with Three Corner Cells Removed

Introduction

A hexomino is a plane figure made of six squares joined edge to edge. There are 35 such figures, not distinguishing reflections and rotations.

The problem of arranging copies of a polyomino to form a rectangle has been studied for a long time. Here I study the problem of arranging copies of two hexominoes to form a rectangle with three corner cells removed.

If you find a smaller solution or solve an unsolved case, please write.

Enumeration

Table of Results

This table shows the smallest total number of copies of two hexominoes known to be able to tile a rectangle with three of its corner cells removed, using at least one of each pentomino. Since the parity of the target shapes is unbalanced, at least one of the hexominoes must have unbalanced cell parity. Those hexominoes that do not are shown in green.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
1	*	×	7	×	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	?	16	×	×	?	×	×	25	×	×	?	×	?	×	×	×	×	4	×	?	×
2	×	*	3	×	×	×	×	×	×	×	4	×	10	×	10	10	×	×	19	×	×	17	×	×	10	×	10	×	×	×	×	13	×	?	×
3	7	3	*	31	10	?	10	45	17	?	27	32	17	19	27	17	19	45	27	37	16	47	42	16	45	25	?	?	27	?	16	47	57	?	?
4	×	×	31	*	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	2	19	×	×	?	×	×	19	×	×	37	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
5	×	×	10	×	*	×	×	×	×	×	?	×	13	×	?	16	×	×	42	×	×	62	×	×	?	×	37	×	×	×	×	37	×	?	×
6	×	×	?	×	×	*	×	×	×	×	?	×	42	×	?	?	×	×	47	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
7	×	×	10	×	×	×	*	×	×	×	16	×	22	×	2	13	×	×	16	×	×	27	×	×	16	×	19	×	×	×	×	19	×	?	×
8	×	×	45	×	×	×	×	*	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
9	×	×	17	×	×	×	×	×	*	×	?	×	17	×	2	24	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
10	×	×	?	×	×	×	×	×	×	*	?	×	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	71	×	?	×
11	?	4	27	?	?	?	16	?	?	?	*	?	?	32	?	?	?	?	?	?	27	47	?	2	?	?	?	?	38	?	2	?	?	?	?
12	×	×	32	×	×	×	×	×	×	×	?	*	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
13	16	10	17	16	13	42	22	?	17	32	?	32	*	16	17	?	2	45	45	76	22	27	71	45	?	37	45	?	?	45	49	3	17	?	?
14	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	32	×	16	*	32	13	×	×	32	×	×	45	×	×	58	×	52	×	×	×	×	17	×	?	×
15	?	10	27	2	?	?	2	?	2	?	?	?	17	32	*	47	?	?	?	?	22	57	?	7	?	?	?	?	37	?	?	?	?	?	?
16	16	10	17	19	16	?	13	?	24	?	?	?	?	13	47	*	?	?	?	27	24	?	?	13	?	?	?	?	?	?	?	27	?	?	?
17	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	?	×	2	×	?	?	*	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	42	×	?	×
18	×	×	45	×	×	×	×	×	×	×	?	×	45	×	?	?	×	*	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
19	?	19	27	?	42	47	16	?	?	?	?	?	45	32	?	?	?	?	*	?	37	?	?	?	?	?	?	?	72	?	?	?	?	?	?
20	×	×	37	×	×	×	×	×	×	×	?	×	76	×	?	27	×	×	?	*	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
21	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	27	×	22	×	22	24	×	×	37	×	*	37	×	×	37	×	37	×	×	×	×	2	×	?	×
22	25	17	47	19	62	?	27	?	?	?	47	?	27	45	57	?	?	?	?	?	37	*	?	?	?	?	?	?	62	?	?	3	?	?	?
23	×	×	42	×	×	×	×	×	×	×	?	×	71	×	?	?	×	×	?	×	×	?	*	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
24	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	2	×	45	×	7	13	×	×	?	×	×	?	×	*	37	×	?	×	×	×	×	2	×	?	×
25	?	10	45	37	?	?	16	?	?	?	?	?	?	58	?	?	?	?	?	?	37	?	?	37	*	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
26	×	×	25	×	×	×	×	×	×	×	?	×	37	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	*	?	×	×	×	×	?	×	?	×
27	?	10	?	?	37	?	19	?	?	?	?	?	45	52	?	?	?	?	?	?	37	?	?	?	?	?	*	?	?	?	32	?	?	?	?
28	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	*	×	×	×	?	×	?	×
29	×	×	27	×	×	×	×	×	×	×	38	×	?	×	37	?	×	×	72	×	×	62	×	×	?	×	?	×	*	×	×	?	×	?	×
30	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	45	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	*	×	?	×	?	×
31	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	2	×	49	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	32	×	×	×	*	?	×	?	×
32	4	13	47	?	37	?	19	?	?	71	?	?	3	17	?	27	42	?	?	?	2	3	?	2	?	?	?	?	?	?	?	*	2	?	?
33	×	×	57	×	×	×	×	×	×	×	?	×	17	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	2	*	?	×
34	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?
35	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	*
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35

Solutions

So far as I know, these solutions have minimal area. They are not necessarily uniquely minimal.

2 Tiles

3 Tiles

4 Tiles

7 Tiles

10 Tiles

13 Tiles

16 Tiles

17 Tiles

19 Tiles

22 Tiles

24 Tiles

25 Tiles

27 Tiles

31 Tiles

32 Tiles

37 Tiles

38 Tiles

42 Tiles

45 Tiles

47 Tiles

49 Tiles

52 Tiles

57 Tiles

58 Tiles

62 Tiles

71 Tiles

72 Tiles

76 Tiles

Last revised 2023-06-19.

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Col. George Sicherman [ HOME | MAIL ]

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1	*	×	7	×	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	?	16	×	×	?	×	×	25	×	×	?	×	?	×	×	×	×	4	×	?	×
2	×	*	3	×	×	×	×	×	×	×	4	×	10	×	10	10	×	×	19	×	×	17	×	×	10	×	10	×	×	×	×	13	×	?	×
3	7	3	*	31	10	?	10	45	17	?	27	32	17	19	27	17	19	45	27	37	16	47	42	16	45	25	?	?	27	?	16	47	57	?	?
4	×	×	31	*	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	2	19	×	×	?	×	×	19	×	×	37	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
5	×	×	10	×	*	×	×	×	×	×	?	×	13	×	?	16	×	×	42	×	×	62	×	×	?	×	37	×	×	×	×	37	×	?	×
6	×	×	?	×	×	*	×	×	×	×	?	×	42	×	?	?	×	×	47	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
7	×	×	10	×	×	×	*	×	×	×	16	×	22	×	2	13	×	×	16	×	×	27	×	×	16	×	19	×	×	×	×	19	×	?	×
8	×	×	45	×	×	×	×	*	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
9	×	×	17	×	×	×	×	×	*	×	?	×	17	×	2	24	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
10	×	×	?	×	×	×	×	×	×	*	?	×	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	71	×	?	×
11	?	4	27	?	?	?	16	?	?	?	*	?	?	32	?	?	?	?	?	?	27	47	?	2	?	?	?	?	38	?	2	?	?	?	?
12	×	×	32	×	×	×	×	×	×	×	?	*	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
13	16	10	17	16	13	42	22	?	17	32	?	32	*	16	17	?	2	45	45	76	22	27	71	45	?	37	45	?	?	45	49	3	17	?	?
14	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	32	×	16	*	32	13	×	×	32	×	×	45	×	×	58	×	52	×	×	×	×	17	×	?	×
15	?	10	27	2	?	?	2	?	2	?	?	?	17	32	*	47	?	?	?	?	22	57	?	7	?	?	?	?	37	?	?	?	?	?	?
16	16	10	17	19	16	?	13	?	24	?	?	?	?	13	47	*	?	?	?	27	24	?	?	13	?	?	?	?	?	?	?	27	?	?	?
17	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	?	×	2	×	?	?	*	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	42	×	?	×
18	×	×	45	×	×	×	×	×	×	×	?	×	45	×	?	?	×	*	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
19	?	19	27	?	42	47	16	?	?	?	?	?	45	32	?	?	?	?	*	?	37	?	?	?	?	?	?	?	72	?	?	?	?	?	?
20	×	×	37	×	×	×	×	×	×	×	?	×	76	×	?	27	×	×	?	*	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
21	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	27	×	22	×	22	24	×	×	37	×	*	37	×	×	37	×	37	×	×	×	×	2	×	?	×
22	25	17	47	19	62	?	27	?	?	?	47	?	27	45	57	?	?	?	?	?	37	*	?	?	?	?	?	?	62	?	?	3	?	?	?
23	×	×	42	×	×	×	×	×	×	×	?	×	71	×	?	?	×	×	?	×	×	?	*	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
24	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	2	×	45	×	7	13	×	×	?	×	×	?	×	*	37	×	?	×	×	×	×	2	×	?	×
25	?	10	45	37	?	?	16	?	?	?	?	?	?	58	?	?	?	?	?	?	37	?	?	37	*	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?
26	×	×	25	×	×	×	×	×	×	×	?	×	37	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	*	?	×	×	×	×	?	×	?	×
27	?	10	?	?	37	?	19	?	?	?	?	?	45	52	?	?	?	?	?	?	37	?	?	?	?	?	*	?	?	?	32	?	?	?	?
28	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	*	×	×	×	?	×	?	×
29	×	×	27	×	×	×	×	×	×	×	38	×	?	×	37	?	×	×	72	×	×	62	×	×	?	×	?	×	*	×	×	?	×	?	×
30	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	45	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	*	×	?	×	?	×
31	×	×	16	×	×	×	×	×	×	×	2	×	49	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	32	×	×	×	*	?	×	?	×
32	4	13	47	?	37	?	19	?	?	71	?	?	3	17	?	27	42	?	?	?	2	3	?	2	?	?	?	?	?	?	?	*	2	?	?
33	×	×	57	×	×	×	×	×	×	×	?	×	17	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	2	*	?	×
34	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?
35	×	×	?	×	×	×	×	×	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	*
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	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35
1	*	×	7	×	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	?	16	×	×	?	×	×	25	×	×	?	×	?	×	×	×	×	4	×	?	×
2	×	*	3	×	×	×	×	×	×	×	4	×	10	×	10	10	×	×	19	×	×	17	×	×	10	×	10	×	×	×	×	13	×	?	×
3	7	3	*	31	10	?	10	45	17	?	27	32	17	19	27	17	19	45	27	37	16	47	42	16	45	25	?	?	27	?	16	47	57	?	?
4	×	×	31	*	×	×	×	×	×	×	?	×	16	×	2	19	×	×	?	×	×	19	×	×	37	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
5	×	×	10	×	*	×	×	×	×	×	?	×	13	×	?	16	×	×	42	×	×	62	×	×	?	×	37	×	×	×	×	37	×	?	×
6	×	×	?	×	×	*	×	×	×	×	?	×	42	×	?	?	×	×	47	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
7	×	×	10	×	×	×	*	×	×	×	16	×	22	×	2	13	×	×	16	×	×	27	×	×	16	×	19	×	×	×	×	19	×	?	×
8	×	×	45	×	×	×	×	*	×	×	?	×	?	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
9	×	×	17	×	×	×	×	×	*	×	?	×	17	×	2	24	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
10	×	×	?	×	×	×	×	×	×	*	?	×	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	71	×	?	×
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12	×	×	32	×	×	×	×	×	×	×	?	*	32	×	?	?	×	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
13	16	10	17	16	13	42	22	?	17	32	?	32	*	16	17	?	2	45	45	76	22	27	71	45	?	37	45	?	?	45	49	3	17	?	?
14	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	32	×	16	*	32	13	×	×	32	×	×	45	×	×	58	×	52	×	×	×	×	17	×	?	×
15	?	10	27	2	?	?	2	?	2	?	?	?	17	32	*	47	?	?	?	?	22	57	?	7	?	?	?	?	37	?	?	?	?	?	?
16	16	10	17	19	16	?	13	?	24	?	?	?	?	13	47	*	?	?	?	27	24	?	?	13	?	?	?	?	?	?	?	27	?	?	?
17	×	×	19	×	×	×	×	×	×	×	?	×	2	×	?	?	*	×	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	42	×	?	×
18	×	×	45	×	×	×	×	×	×	×	?	×	45	×	?	?	×	*	?	×	×	?	×	×	?	×	?	×	×	×	×	?	×	?	×
19	?	19	27	?	42	47	16	?	?	?	?	?	45	32	?	?	?	?	*	?	37	?	?	?	?	?	?	?	72	?	?	?	?	?	?
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34	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	?	*	?
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